ГЛАВА VI.
Ударные волны в газах.

§1. Ударные волны в идеальном газе.

        

Соотношения, связывающие термодинамические параметры среды до и после ударной волны, приобретают наиболее простой и законченный вид для так называемого совершенного газа, т.е. газа с постоянным значением γ – отношения теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. В этом случае возбуждаются только поступательные и вращательные степени свободы атомов и молекул. Для возбуждения этих степеней свободы достаточно одного, двух соударений, поэтому ударную волну можно считать поверхностью, а следовательно можно воспользоваться соотношениями (5.18 – 5.21). Поскольку для совершенного газа:

то из этих соотношений можно получить:

отсюда после замены плотности удельными объемами  следует:
                                                   
здесь - соответственно теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении; .
            Это соотношение определяет в плоскости  семейство кривых, которое можно построить, задавая значения двух параметров: начального давления  и удельного объема .
            Ударная адиабата изображена на рис. 6.1. Эта кривая имеет вертикальную асимптоту, поскольку из предыдущей формулы следует, что отношение давлений неограниченно возрастает, если отношение плотностей принимает значение:
      
        Следует подчеркнуть важное отличие ударной адиабаты от адиабаты Пуассона: вдоль одной и той же ударной адиабаты энтропия газа изменяется.

        Энтропия в ударной волне терпит разрыв наряду с другими параметрами газа, причем в силу закона возрастания энтропии – энтропия газа, прошедшего через ударную волну должна быть больше его начальной энтропии. Последнее означает, что наличие ударных волн в газе, даже и не обладающем вязкостью и теплопроводностью ведет к необратимости движения, т.е. имеет место диссипация энергии. Следовательно, ударные волны представляют собой механизм, при котором происходит непосредственный переход видимого движения в тепловое.
        Воспользуемся условием возрастания энтропии, т.е. будем считать, что , тогда из последнего соотношения получим: . Это означает, что не может быть ударной волны разрежения, поэтому участок адиабаты Гюгонио правее точки  на рис. 6.1 изображен пунктиром.
участок адиабаты Гюгонио
                                                                       Рис. 6.1
        Последовательность адиабат  на этом рисунке иллюстрирует процесс сжатия газа с помощью ударных волн, следующих одна за другой. Ход этих адиабат показывает, что невозможно, исходя из одного или того же начального состояния, прийти к одному конечному состоянию путем сжатия одной и несколькими ударными волнами. В отличие от этого адиабата Пуассона (PP – на рис. 6.1) может быть разбита на сколь угодно большее число участков, после реализации которых будет иметь место то же давление, что и при реализации исходного процесса. Последнее есть следствие того, что адиабата Пуассона зависит от одного параметра – энтропии, тогда как ударная адиабата – от двух.
        Полученным результатом можно придать наглядный вид, если представить, что ударная волна распространяется с постоянной скоростью  вдоль направления . Воспользовавшись полученными выше формулами, нетрудно найти:
                                                                              (6.1)
                                          (6.2)
                                                                                (6.3)
        Здесь индексами  помечены параметры газа, соответственно, до и после ударной волны, а  - есть отношение скорости распространения ударной волны к скорости звука в газе перед ударной волной, которое называют числом Маха ударной волны.
        Нетрудно видеть, что при неограниченном возрастании скорости ударной волны, отношение плотностей стремится к предельному значению , которое для одноатомного газа равно примерно – 4, а для двухатомного – 6.
        Если ударная волна встречает неподвижную стенку, расположенную перпендикулярную направлению ее распространения, то отношение скоростей отраженной и падающей ударных волн равно:

        Воспользовавшись еще раз полученными выше соотношениями, связывающими параметрами до и после отраженной волны, а также формулами, связывающими параметры за падающей ударной волной с параметрами невозмущенного газа, можно найти:



здесь индексом R – помечены параметры газа за отраженной волной, а индексом 0, как и прежде, параметры невозмущенного газа.
        Подчеркнем, что приведенные формулы справедливы при , а это, в свою очередь, предполагает, что с газом, при переходе через ударную волну, не происходит физико-химических превращений. Однако такая идеализация не всегда соответствует действительности. С ростом числа Маха ударной волны за фронтом ударной волны происходит возбуждение внутренних степеней свободы молекул и атомов, а затем диссоциация молекул и ионизация атомов, следовательно, отношение теплоемкостей и молекулярный вес газа будут зависеть от температуры и давления. В этом случае для определения параметров среды за ударной волной целесообразно использовать непосредственно систему уравнений (5.18), предварительно вычислив внутреннюю энергию или энтальпию, как функции параметров среды. Вычисления становятся громоздкими, и это обстоятельство приводит к необходимости использования электронно-вычислительных машин (ЭВМ). Методика таких расчетов изложена, например, в [41,42].
        При небольшом объеме расчетов можно использовать методику, которая состоит в следующем. Будем считать, что параметры среды перед ударной волной , а также скорость ударной волны известны. Запишем систему уравнений (5.18) в виде:
                                                                                   (6.4)
                                                               (6.5)
                                                                        (6.6)
где 0 и S – скорости среды соответственно до и после ударной волны, взятые в системе координат, связанной с ударной волной. Кроме того, будем считать, что уравнения состояния среды перед и за ударной волной могут быть записаны в такой форме: а зависимости  и  - известны. Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом последовательных приближений. Поскольку для сильных ударных волн , то в первом приближении можно пренебречь в (6.4 – 6.6) членами, содержащими . Тогда из (6.4):
,
что равносильно:

из (5.24):

что равносильно:

        Далее, по известным значениям , с помощью функций  и , можно найти , а затем  и скачок плотности .
Из (6.4) следует:

        Воспользовавшись этим соотношением, с помощью (6.5), получим во втором приближении:
                       
        Аналогично, с помощью (6.10):

        Поскольку функции  и  известны, то, зная  и , можно найти , а затем и
        Далее могут быть сделаны третье, четвертое и т.д. приближения, но обычно второе приближение позволяет определить параметры за ударной волной с точностью, которая практически определяется той точностью, с которой известны функции , , и точностью интерполяции при определении . Как показало сравнение результатов вычислений, проведенных по изложенной методике и с помощью ЭВМ по методике [41,42], значения параметров, вычисленных в обоих случаях для воздуха, в диапазоне скоростей ударной волны 5-8 км/сек, отличаются друг от друга не более чем на 1,5 %.
        Схема расчета параметров за отраженными ударными волнами аналогична. В системе координат, связанной с отраженной ударной волной система уравнений (6.4-6.6), может быть записана в виде:
                                                                        (6.7)
                                                   (6.8)
                                                             (6.9)
        Как и прежде будем считать, что уравнения состояния среды, перед и за отраженной ударной волной, известны, а также известны зависимости  и . С помощью (6.7-6.9), находим:
                                                         (6.10)
        И, воспользовавшись (6.9):
                                                      (6.11)
        Однако эти соотношения непосредственно для расчета  не могут быть использованы, поскольку содержат неизвестную величину . Воспользуемся, поэтому, методом последовательных приближений. В качестве исходного значения можно принять . Это значение можно найти, воспользовавшись формулой для отношения , приведенной выше, если учесть, что при высоких температурах, значение  для двухатомного в исходном состоянии газа близко к 1,2 – 1,3. Например, в случае воздуха при температурах 6000 – 16000K и давлениях 1 – 150 атм., значения  лежат между 1,2 – 1,3. Выбор исходного значения  не является принципиальным; удачный выбор этого значения сводит к минимуму число последовательных приближений. Приняв , получим, в первом приближении, из (6.10 – 6.11):


        Затем, с помощью функций  и , найдем первое приближение , а после этого и . Подставив это значение в (6.9), получим первое приближение для

        Воспользовавшись этим значением, можно, с помощью (6.10 – 6.11), найти значения  во втором приближении, затем , а, следовательно, и второе приближение для . Обычно достаточно двух приближений, однако, при необходимости можно воспользоваться третьим, четвертым и т.д. приближениями.

§2. Формирование ударной волны перед твердым телом.

            Рассмотрим наиболее простой случай формирования ударной волны, когда ее параметры зависят от одной координаты. Пусть непроницаемый поршень с плоской торцевой поверхностью начинает движение из состояния покоя в гладкой неограниченной трубе, заполненной покоящимся газом (рис. 6.2 ).

движение непроницаемого поршня в гладкой неограниченной трубе, заполненной покоящимся газом

Рис.6.2.

        

Сообщим в начальный момент поршню весьма малую скорость . Это приведет к возникновению в газе слабой волны уплотнения, которая будет распространяться слева направо со скоростью  (рис. 6.2 ). В любой момент времени газ перед фронтом волны уплотнения покоиться, тогда как между фронтом волны и поршнем газ приобретает скорость , а его плотность адиабатически возросла на величину . Увеличим скорость поршня еще на , по уплотненному газу от поршня к фронту начнет распространяться второе уплотнение (рис. 6.2 ). Повторяя этот процесс неоднократно, получим суперпозицию “” волн уплотнения (рис. 6.2 ), причем скорость газа между фронтом последней волны уплотнения и поршнем, составит . Если приращения скорости  и интервалы времени  между двумя последующими приращениями скорости достаточно малы, а число уплотнений “” – достаточно велико, то по истечении конечного интервала времени t, получим практически непрерывное увеличение скорости от 0 до  (рис. 6.2 ). Скорость волны уплотнения тем больше, чем ближе волна к поршню, поскольку движется она по газу предварительно сжатому предыдущим уплотнением, а, следовательно, имеющим более высокую температуру, чем газ перед предыдущим уплотнением. Таким образом, в процессе движения каждый последующий слой догоняет двигающийся перед ним, поэтому в некоторый момент времени  образуется крутой волной фронт (рис. 6.2 – ). В дальнейшем последующие уплотнения не могут обогнать предыдущие и распределение скоростей, показанное на рис. 6.2  пунктиром, невозможно, т.к. в этом случае одному и тому же сечению трубы в данный момент соответствовало бы несколько значений скоростей газа. Возникает скачкообразное изменение скорости, соответствующее ударной волне. Проведенное рассмотрение позволяет сделать заключение, что в случае распространения волн уплотнения конечной амплитуды в отличие от распространения малых возмущений начальная форма распределения параметров в волне не сохраняется.
        Определим место и время образования ударной волны перед поршнем. Эта задача, как и рассмотренная в следующем параграфе, является автомодельной и для нее справедливы уравнения (5.1). Справа от поршня в начальный момент и перед фронтом волны уплотнения нет источников возмущений, поэтому нет причин для распространения возмущений справа налево навстречу движению поршня вдоль  – характеристик, следовательно, можно считать, что  – инвариант Римана остается постоянным во всей области справа от поршня. Преобразуем – инвариант:

считая процесс распространения звука адиабатическим, т.е.


        поделив почленно эти уравнения:

        Воспользовавшись этим соотношением, заменим в  – инварианте , после интегрирования получим:

        Полагая, что при , , найдем, что , следовательно:



        Отсюда следует, что для волн распространяющихся вдоль  – характеристик, чем больше скорость  возмущенного движения газа тем больше, как скорость абсолютного распространения волны: , так и относительного распространения волны . Большим значением скорости “” соответствует и большие значения плотности и давления, а это означает, чем больше интенсивность переносимого возмущения, тем больше и скорость распространения возмущения. Следовательно, форма распределения конечного возмущения, в отличие от малых возмущений, при распространении в газе не сохраняется. В этом состоит основное отличие распространения возмущений конечной интенсивности от распространения звуковых волн.
        Поскольку вдоль характеристик сохраняется скорость газа –  и скорость звука – , то семейство  – характеристик, отвечающих условию

будет представлять собой совокупность прямых линий. Семейство  – характеристик, отвечающих ускоренному движению поршня, изображено на рис. 6.3.
        Предположим, что в некоторый момент времени  в сжатом перед поршнем газе имеет место распределение скоростей, которое можно описать функцией , убывающей в направлении движения поршня. В последующий момент времени  распределение скорости приобретает более резкий спад, т.к. точки кривой , которые можно рассматривать как волны сжатия, переместятся вдоль оси Ox на расстояния:

т.е. тем больше, чем больше ординаты кривой . Наклон кривой будет возрастать с течением времени пока наконец не приобретет форму ступеньки, показанную на рис. 6.2 . В этот момент времени  в одной из точек кривой , касательная к ней станет перпендикулярной оси ОX, т.е.
        Поскольку кривая распределения скоростей в момент времени :  получается из кривой  параллельным переносом ординат на расстояние, указанное выше, то можно написать:

где     

                                                                       Рис.6.3.
        Продифференцируем по  написанное уравнение:
                       
        Поскольку
,
        то

        Обозначим  абсциссу точки, в которой кривая изменяется скачкообразно, т.е. производная обращается в бесконечность. Поскольку  есть величина конечная, то на основании последнего равенства можно утверждать, что

или

        Полагая  и считая , найдем, что . Поскольку есть фактическое ускорение поршня – , т.к. в начальный момент фронт волны сжатия практически совпадает с торцевой поверхностью поршня, то есть скорость распространения волны по невозмущенному газу, т.е. – . Таким образом,

        Расстояние до места образования ударной волны, как это следует из рис. 6.3, , т.е.

        Длина области ударно нагретого газа:

        Влево от поршня по первоначально покоящемуся газу вдоль  – характеристик будут распространяться волны разрежения, т.е. плотность в направлении обратном движению поршня будет убывать.

§3. Распад произвольного начального разрыва.

        Разрывы возникают не только за счет движения среды с большими скоростями, но и в результате соприкосновения двух сред, параметры которых по обе стороны поверхности раздела в общем случае не связаны условиями Рэнкина – Гюгонио (5.18). Такой разрыв существовать во времени не может. Должна возникнуть система, состоящая из ударных волн, контактных поверхностей и областей газа между ними, где параметры среды непрерывны и подчиняются системе уравнений:

        Рассмотрим для простоты одномерный случай. Пусть в плоскости  в начальный момент времени  терпят разрыв все термодинамические параметры среды, а также ее скорость и состав. Будем считать, что по обе стороны разрыва плотность, давление и температура постоянны, но их значения не отвечают условиям (5.15 – 5.17). Эта задача впервые была рассмотрена Риманом [30]. Изменение параметров среды слева и справа от разрыва определяется уравнениями (5.1), которые не содержат характерных значений масштабов длины и времени. Не содержат таких масштабов ни начальные, ни граничные условия, следовательно, параметры среды могут зависеть только от отношения координат ко времени, поскольку в уравнения входит скорость. Такие движения принято называть автомодельными, т.к. в этом случае профили газодинамических параметров остаются во времени подобными сами себе. Поскольку параметры среды могут зависеть только от отношения координаты  по времени, введем новую переменную  и с помощью этой переменной преобразуем систему уравнений (5.1) к виду:
                                                                  (6.12)
                                                                  (6.13)
        Эта система имеет тривиальное решение:
                        ; ;
        Для получения нетривиального решения воспользуемся тем, что
                       
        В тех областях, где параметры среды непрерывны и процессы вязкости и теплопроводности не играют существенной роли можно считать, что движение среды происходит изоэнтропически, т.е. можно положить , и следовательно , где  – скорость распространения звуковых волн. Заменив  на  в уравнении (6.13) и, исключив , получим:

отсюда:

или

С учетом этого соотношения из (6.12) следует:

        Введем инварианты Римана – r и s (см. гл. V, § 1). Полученные выше соотношения позволяют утверждать, что величины  и , остаются постоянными вдоль линий, отвечающих соответственно условиям:
                                                                                                                        (6.14)
                                                                                     (6.15)
        Эти линии, которые, как указывалось выше, называют характеристиками, образуют в плоскости  два семейства кривых, а поскольку в одномерном случае точке с координатой  соответствует плоскость перпендикулярная оси Оx, то полученный результат можно интерпретировать, как наличие в пространстве двух семейств плоских волн, распространяющихся вдоль оси Оx со скоростями  и . Ось Оx направлена вдоль по потоку, т.е. , а, следовательно, волны первого семейства относительно потока распространяются в сторону его движения с относительной скоростью равной скорости звука, тогда как волны второго семейства распространяются с той же относительной скоростью, но в обратном направлении. Вдоль характеристик первого семейства переносится постоянным инвариант , а вдоль характеристик второго семейства инвариант .
        Рассмотрим систему разрывов, образовавшихся в результате распада произвольного разрыва и положение в этом случае характеристик на  диаграмме. Не ограничивая общности, будем считать, что давление слева от разрыва превышает давление справа от него, т. е. движение среды происходит в положительном направлении оси абсцисс (рис. 6. 4).
система разрывов, образовавшихся в результате распада произвольного разрыва
                                                                       Рис.6.4.
        Возмущения, распространяющихся от границы раздела двух сред слева направо последовательно уплотняют газ, т. е. создают возрастающее вдоль оси Ох распределение плотности, а поскольку , то в конечном счете эта волна сжатия превратится в ударную волну. Линия ударной волны на рис.(6.4а) обозначена ОА, а линия раздела газов высокого и низкого давлений – ОВ. Между этими границами располагается область с постоянными значениями термодинамических параметров. Это утверждение основано на том, что увеличение значений этих параметров в направлении Ох привело бык превращению волны сжатия в ударную волну, а этот факт уже имеет место.        Уменьшение значений параметров в направлении оси Ох свидетельствовало бы о существовании ударной волны разрежения, что невозможно.
        Возмущения, идущие от границы раздела справа налево последовательно уменьшают плотность газа, т. е. плотность в направлении распространения этих возмущений убывает. Следовательно, область, лежащая между покоящимся газом высокого давления и границей раздела представляет собой волну разряжения (линия ее "головы" обозначена на рис. 6.4а – ОС).
        Таким образом, вся полуплоскость  разбивается линиями ударной волны, раздела двух газов, "головы" волны разрежения на четыре области. В области между линиями Ох и ОС газ покоится, инварианты  и  являются постоянными во всей этой области, и сетка характеристик   и  представляет собой сетку прямых, тангенс угла наклона которых с осью ординат составляет , где - скорость звука в невозмущенном газе высокого давления. Линия "головы" волны разрежения ОС совпадает с крайней правой из   характеристик. Поскольку ОС является характеристикой, пересекающие ее  характеристики и - инварианты Римана не терпят разрыва при переходе в область между лучами ОВ и ОС. Во всей области слева от ОС - инвариант постоянен, следовательно, он постоянен и между лучами ОВ и ОС. Поэтому на основании  (6. 14- 6.15) можно утверждать, что в этой области  является прямыми, исходящими из точки О. Луч ОВ совпадает с крайней правой из этих характеристик. Область, в которой границы, а также все  характеристики, являются прямыми линиями, исходящими из одной точки, называют центрированной простой волной.
        К волне разрежения примыкает область ударно сжатого газа, где, как было показано выше, параметры среды постоянны, поэтому характеристики будут представлять собой два семейства прямых наклонных к оси ординат под углом , где  – скорость течения газа, а  - скорость распространения звука в ударно сжатом газе.
        В области между лучами АО и Ох газ покоится и сетка характеристик будет аналогична сетке слева от луча ОС с той лишь разницей, что скорость звука в газе перед ударной волной в общем случае отлична от скорости звука в газе высокого давления.
        Таким образом, распад произвольного начального разрыва ведет к возникновению двух поверхностей разрыва: ударной волны и контактной поверхности, разделенных областью однородной среды. К контактной поверхности примыкает центрированная волна разрежения, а ударная волна распространяется по невозмущенному газу (рис. 6.4 а). Соответствующее распределение скорости и плотности газа для некоторого момента времени  дано на рис. 6.4 б и 6.4 в.

§4. Взаимодействие ударных волн с препятствиями.

        При обтекании препятствий сверхзвуковым потоком газа линии тока могут пересекать фронт ударной волны под углами отличными от прямого. Такой случай имеет место при сверхзвуковом движении клина, когда его боковые поверхности играют роль аналогичную поверхности поршня, вызывающие уплотнение в газе и образование ударной волны. Фронт ударной волны в этом случае будет наклонен к направлению движения клина, поэтому говорят о косой ударной волне или косом скачке уплотнения. Картина течения вокруг клина симметрична относительно плоскости симметрии клина, поэтому совокупность нулевых линий, направленных к вершине клина, можно заметить непроницаемой поверхностью и рассмотреть только половину потока на одну сторону поверхности (рис. 6.5),
Картина течения вокруг клина
                                                                       Рис. 6.5.
здесь: OS – фронт ударной волны,  – угол между ударной волной и плоскостью симметрии потока,  – угол при вершине клина. Нормальная составляющая скорости потока при переходе через фронт подчиняется законам сохранения массы и количества движения на разрыве, а, следовательно, для параметров газа справедливы соотношения аналогичные уравнениям (6.1 – 6.3), тогда как тангенциальная составляющая остается непрерывной. Таким образом, можно записать:

где  
Поскольку:

то эту систему уравнений можно преобразовать к виду:

        Заменяя в первом уравнении , с помощью второго уравнения получим:

или

откуда:

        Обычно это выражение записывают с помощью критической скорости, которую вычислим, воспользовавшись соотношением, определяющим значение энтальпии совершенного газа:

и уравнением (5.19):

здесь с - критическая скорость, отсюда:
                                  
        Заменяя с помощью этого соотношения в предыдущем выражении скорость звука, получим:

        Это уравнение именуют уравнением ударной поляры, которая представляет собой кривую третьего порядка (в математике она известна как строфоида, а также гипоциссоида или декартов лист).

вид строфоиды

Рис. 6.6.

        На рисунке 6.6 приведен вид строфоиды. Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q, которые соответствуют значениям и . Луч ОМ, составляющий с осью абсцисс угол поворота потока за ударной волной – , пересекает ее в трех точках М, М1 и М2 и тем самым позволяет найти три значения вектора  за ударным фронтом. Поскольку ОМ > ОQ, что должно означать , а это невозможно, то ветви строфоиды, лежащие за двойной точкой физического смысла не имеют. Перпендикуляры ON1 и ON2, опущенные на прямые PM1 и PM2, дают два возможных направления ударной волны (так называемые слабый и сильный скачки уклонения) и соответственно два значения тангенциальных составляющих скоростей  и , тогда как отрезки PN1 и PN2 нормальные составляющие скорости  за упомянутыми скачками. Окружность радиуса  разграничивает области сверх- и дозвуковых течений.
        Из рассмотрения рис. 6.6 видно, что угол отклонения потока –  не может превышать некоторого максимального значения, которое соответствует лучу OS, являющемуся касательной к ударной поляре. При  плоский, так называемый присоединенный, скачок не возможен. В этом случае вверх по течению перед точкой О возникает отсоединенный скачок уплотнения, который называют головной ударной волной (рис. 6.7).

отсоединенный скачок уплотнения, называемый головной ударной волной

Рис. 6.7

        Течение за такой ударной волной является вихревым. Непосредственно за точкой Q параметры газа за отсоединенной ударной волной близки параметрам за прямым скачком, далее течение становится похожим на течение за сильным скачком, а затем аналогичным течению за слабым косым скачком. Вместе с тем течение переходит от до звукового к сверхзвуковому. Аналогично изложенному, при обтекании клина возникают отсоединенный или присоединенный скачки уплотнения, в соответствии с тем, превышает или нет  значение половины угла клина при его вершине (рис. 6.8)
отсоединенный и присоединенный скачки уплотнения
                                                                       Рис. 6.8.
        Рассмотрим принципиально отличное от предыдущего обтекание угла сверхзвуковым однородным потокам газа, сопровождающееся возникновением волны разрежения (рис. 6.9), которое обычно называют течением Прандтля-Майера [43,44].
течение Прандтля-Майера (обтекание угла сверхзвуковым однородным потокам газа)
                                                                       Рис. 6.9.
        Поворот линий тока от первоначального направления, параллельного второй стороне угла, происходит в отходящей от края угла волне разрежения, так что вся картина течения состоит из трех областей, отделенных друг от друга слабыми разрывами OE и OF (рис. 6.9 а). Определение параметров в секторе разрежения представляет собой автомодельную задачу, аналогичную случаю центрированной волны разрежения, но не в плоскости , а в плоскости . Угол поворота течения , не может превышать значения . Поэтому, в случае , волна не может повернуть поток до направления параллельного стороне ОВ, и возникает картина, изображенная на рис. 6.9б, где - поток не достигает стороны угла ОВ; его граница располагается так, что волна разрежения отделена от поверхности угла областью покоящейся среды ВОD.
        Рассмотрим пересечение ударных волн с поверхностью твердых тел. Различают стационарное, квазистационарное и нестационарное отражение ударных волн от поверхности твердых тел. Стационарное отражение показано на рис. 6.10 а, б.
стационарное отражение ударных волн от поверхности твердых тел
                                                                       Рис. 6.10.
        Наиболее простым случаем является такой, когда отраженная волна отходит непосредственно от линии пересечения (а). Такое отражение называется правильным или регулярным. В отраженной волне поток газа должен повернуться на определенный угол так, чтобы вновь стать параллельной поверхности тела. Величина этого угла позволяет с помощью ударной поляры найти положение и интенсивность отраженной волны. Из общих свойств ударной поляры ясно, что существует такое предельное значение угла падения, при достижении и дальнейшем увеличении которого наступает нерегулярное или маховское отражение. В этом случае картина представляет собой тройную конфигурацию ударных волн и отходящий от нее тангенциальный разрыв (рис. 6.10 б, OS, OR, OM-ударные разрывы; ОТ- тангенциальный разрыв). Подробнее с деталями отражения ударных волн можно ознакомиться в [45].
        Получить общее решение задачи о течении при взаимодействии разрывов весьма затруднительно, поэтому приведем согласно [38] краткую сводку результатов изучения различных случаев взаимодействия разрывов. С этой целью введем следующие обозначения:
 - ударный фронт, обращенный в сторону положительного направления оси,
 -в обратную сторону,
 -фронты волн разряжения, направленные в стороны соответственно положительного направления оси и обратного ему,
 - контактный разрыв, причем  означают, что скорость звука по правую сторону контактного разрыва  соответственно больше или меньше, чем по левую сторону.
 - зона, в которой давление и скорость течения постоянны, но плотность, энтропия и температура меняется от точки к точке.
        С помощью этих обозначений результатам различных типов взаимодействий можно придать следующий вид:
-столкновение двух ударных волн:
 →

  1. обгон ударных волн:

 →
- если ударная волна в одном газе встречает другой газ с большей скоростью звука, то на поверхности разрыва возникают прошедшая и отраженная ударные волны.
                                                →
- если во второй среде скорость звука меньше, то возникают две возможности:
                а) если величина  во второй среде меньше или если ударная волна достаточно слаба, то проходит ударная волна и отражается волна разрежения:
                                               →
                б) если величина  во второй среде больше и ударная волна достаточно сильна, проходит волна разрежения и отражается ударная волна
                                               →
-столкновение двух волн разрежения
                                                →
-столкновение волны разрежения с зоной большей скорости звука
                                               →
-столкновение волны разрежения с зоной большей скорости звука
                                               →
        Взаимодействие  производит волну сжатия, в которой, в конце концов, образуется ударная волна.
        Если ударная волна перегоняет волну разрежения или волна разрежения перегоняет ударную волну (в том случае, когда интенсивность обгоняющей волны значительно больше обгоняемой), то
                                                →
                                               →

§5. Уравнения движения неизотермической сжимаемой сплошной среды.

        Для среды, не содержащей разрывов параметров, согласно § 1 гл.I, справедлива система уравнений (1.5-1.7). Если такая среда не содержит источников (стоков) вещества и энергии, то эту систему уравнений можно записать в виде:
                                     (6.16)
где  - плотность, скорость и удельная внутренняя энергия среды соответственно,
 - главный вектор внешних массовых сил,
 - тензор напряжений поверхностных сил.
        Если среда находится в состоянии термодинамического равновесия, а ее уравнение состояния известно, то плотность среды и ее внутренняя энергия являются однозначными функциями давления и температуры. Для потенциальных течений , а также для одномерных задач тензор напряжений сводится к скалярной величине – взятому с обратным знаком давлению.
        В общем случае несжимаемой вязкой жидкости, обычно, в качестве исходного пункта, используют гипотезу, состоящую в том, что взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, есть давление в этой точке, т.е. скалярная величина – характеристика состояния среды, совпадающая со значением давления, использующимся в термодинамике. В частности, для медленных движений, если силы вязкости отвечают гипотезе Ньютона, то можно воспользоваться приведенным в гл.I соотношением:
                                                                               (6.17)
где       - коэффициент динамической вязкости,
             - тензор скоростей деформаций,
             - единичный тензор,
             - скалярная величина, имеющая тот же физический смысл, что и давление в термодинамике.
        Линейным инвариантом тензора напряжений является сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды:
                                  
        Линейный инвариант тензора скоростей деформаций, есть

        Если жидкость несжимаема, то  и из соотношения (6.17), следует

- в полном соответствии с изложенной выше гипотезой.
        Тензор напряжений может быть найден и с помощью гипотезы, изложенной в гл.III.
        В случае сжимаемой жидкости, для сохранения гипотезы о давлении, необходимо в формулу (6.17) внести изменения, обусловленные изменениями плотности среды. Переход от одного состояния среды к другому, связанный с изменением плотности, может быть сопряжен с необратимыми процессами, а следовательно и с диссипацией энергии, что можно интерпретировать, как дополнительную вязкость.
        Однако и для решения задач в случае одномерных движений среды, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия, остается принципиальное препятствие для однозначного описания движения среды с помощью системы уравнений (6.16), состоящее в том, что при наличии в среде области, где имеет место уменьшение давления в направлении движения, такая неоднородность приведет к образованию ударного разрыва. В этом случае в среде возникает разрыв непрерывности функций плотности и скорости, которого в исходном состоянии могло и не быть, а следовательно система уравнений должна быть изменена и дополнена условиями «сшивания» функций плотности, давления и скорости на разрыве.
        При изучении плазменных образований может иметь место ситуация, когда в любом физически бесконечно малом объеме среды имеет место избыточный заряд, а следовательно становится проблематичным выполнение основного положения теории Больцмана: частицы вещества взаимодействуют только в момент соударений, а между этими моментами времени частицы движутся свободно. Уравнение состояния такой среды неизвестно, что ведет к непреодолимым трудностям в решении системы уравнений (6.16).
        Задача еще более усложняется, если движение неизотермической сжимаемой жидкости является вихревым, а тензор напряжений является тензором первого или второго ранга. Отыскивание связи между тензором напряжений и давлением в термодинамическом смысле становится трудно разрешимой задачей.
        Необходимо привлечение дополнительных гипотез, для поиска которых наиболее целесообразным представляется экспериментальный путь. Без этого построение газодинамической картины движения плазменных образований, например, внутри звезд или рабочих тел в устройствах для получения управляемых термоядерных реакций, представляется бесперспективным. Отсутствие ясной газодинамической картины в этом случае, по-видимому, является главным препятствием для устранения многих видов «неустойчивостей», возникающих в устройствах, содержащих плазменные образования.